RÉSOLUTION ÉQUATION POLYNOMIALE A COÉFFICIENTS RÉELS

J’expose ici, uniquement les algorithmes de calculs nécessaires pour déterminer les solutions des équations polynomiales de degré 2, 3 et 4. Pour un degré supérieur à 4, il n’existe pas d’algorithme général pour la résolution. Par contre, il reste possible de trouver des formules exactes pour la résolution de degré supérieur à 4, mais seulement valable sous certaines conditions.

Pour une résolution numérique, plusieurs méthodes sont envisageables. Dans le cas général il est possible d'utiliser la méthode de Bairstow pour toutes les factorisations de n'importe quel degré, grâce à la nouvelle fonction exposée ici : PolyFactEq

ÉQUATION DU SECOND DEGRÉ :

Calcul du discriminant :

Si > 0 alors :

• 2 Solutions :
• 
• 

Si = 0 alors :

• Solutions doubles :
• 

Si < 0 alors :

• 2 Solutions complexes :
• 
• 
  avec

ÉQUATION DU TROISIÈME DEGRÉ :

SI  alors et l'algorithme général ne fonctionne pas pour ce cas particulier.

• Les 3 solutions particulières :
• 
• 
• 
  avec

Algorithme général de résolution :

Calculs intermédiaires :

Calcul du discriminant :

Si > 0 alors :

• Calcul intermédiaire :
• 
• 3 Solutions :
• 
• 
• 
  avec

Si = 0 alors :

• 2 Solutions et 1 double :
• 
• 
• 
  
  

Si < 0 alors :

• Calculs intermédiaires :
• 
• 
• 
  
  
• 3 Solutions :
• 
• 
• 
  
  

ÉQUATION DU QUATRIÈME DEGRÉ :

Calculs intermédiaires : (Attention aux majuscules et aux minuscules !)

Calcul du discriminant :

Calculs intermédiaires en fonction de delta :

si > 0 alors :

si = 0 alors :

si < 0 alors :

Puis les autres calculs intermédiaires suivants :

Les 2 premières solutions sont données par :

Calculs intermédiaires :

• 
• 
• Si B = 0 alors
• 

Si >= 0 alors :

• 2 Solutions réelles :
• 
• 

Si < 0 alors :

• 2 Solutions complexes :
• 
• 
  avec  

Les 2 dernières solutions sont données par :

Calculs intermédiaires :

• 
• 
• Si B = 0 alors
• 

Si >= 0 alors :

• 2 Solutions réelles :
• 
• 

Si < 0 alors :

• 2 Solutions complexes :
• 
• 
  avec